コンプレッサー自体は、非常に強固で丈夫につくられているため、故障することはめったにありません。
しかしエンジンの動力をベルトを介してコンプレッサーに伝え、断続させる電磁クラッチの不良により、エアコンが効かなくなる例が数多く報告されています。
電磁クラッチは、 エアコンをオンにすると電磁石に電流が流れてエンジン動力をコンプレッサーに伝えますが、電磁クラッチが壊れるとコンプレッサーは回らなくなるため、エアコンからは冷たい空気が出なくなります。

冷房が効かなくなるもっとも多い原因がエアコンガスの不足です。
よく勘違いされますが、エアコンを使ったからといってガスが減ることはありません。
密閉されるエアコンガスは漏れることがないとされますが、 車は常に振動にさらされるため、実際には配管接合部分のわずかな隙間からガスが漏れ出てしまうのです。

古い車ほど接合部分の劣化が進み、漏れる量が多くなる傾向にありますが、エアコンガスが不足しても致命的に漏れていない限りは、エアコンガスを補充することで、性能を回復させることができます。

ヒーターが効かない一番多い原因が、サーモスタットの不良です。

サーモスタットはエンジンを一定の温度まで温めて、燃焼効率を高めさせることが目的です。
ヒーターの場合も、サーモスタットが閉じていることで、冷却水がエンジンで温められ、それが循環し、暖房となります。
これが開いたままだとラジエータに冷却水が行ってしまい、なかなか温まりません。
そのため、サーモスタットの交換や修理が必要となります。

また、送風機のモーターの故障、冷却水がない、オートエアコンシステムの故障など、物理的な問題、システム的な問題が原因なこともあります。

車の暖房はエンジンの廃熱を利用して室内を温めるため、エンジン水温＝暖房の最大温度という関係になります。
もし冷却水不足になった場合には、室内側ヒーターコアまで冷却水が回ってこないため、ヒーターコアの温度は上がらず、温風が出なくなります。